- Geronimo a écrit:
J'y connais rien (ou pas grand chose) aux fractales mais une dimension qui serait un nombre fractionnaire ça me parait louche, surtout que lorsqu'on montre des exemples de fractales, ce sont des objet en 2 ou 3 dimensions. Un objet qui occupe n dimensions est composés de points repérés par n coordonnées dans un repère composé de n vecteurs, avec n entier positif. Si n est une fraction ça veut dire que c'est un nombre réel donc 2.5 par exemple. Donc dans ce cas une des coordonnées des points de l'objet existerait à 50% ? 
Je ne suis pas mathématicien non plus, mais les objets fractals ont bien une dimension qui est un nombre non-entier. Par exemple, un objet fractal sur une surface plane a une dimension comprise entre 1 et 2 (l'ensemble de Mandelbrot est l'objet fractal "plat" le plus complexe avec une dimension de 2).
Cf Wikipedia :
"Sa dimension de Hausdorff est plus grande que sa dimension topologique. Pour exprimer la chose clairement, un réseau d'irrigation est un déploiement de lignes (1D) qui offre des caractéristiques commençant à évoquer une surface (2D). La surface du poumon (2D) y est repliée en une sorte de volume (3D). Bref, les fractales se caractérisent bien par une sorte de dimension non-entière. "
Et :
"De manière simplifiée et en première approximation, un objet fractal est un objet ayant une homothétie interne, c'est-à-dire qu'une portion de l'objet est identique à l'objet complet. Considérons un exemple simple, la courbe de von Koch : cette courbe est construite de manière récursive, on part d'un segment de droite, et on remplace chaque segment par un segment avec un chevron au milieu.
On répète cette opération à l'infini. Cette courbe est une ligne (donc de dimension 1, au sens ordinaire). Sa longueur est infinie, puisqu'à chaque étape on multiplie sa longueur par 4/3, et qu'il y a un nombre infini d'étapes. Pourtant, et contrairement à une droite infinie, on peut toujours trouver une courbe de longueur finie aussi proche que l'on veut de la courbe de von Koch. On peut donc dire en fait que si on trouve que la longueur de la courbe de von Koch est infinie, c'est qu'on l'évalue dans une « mauvaise » dimension, et qu'en mesurant « mieux », on aurait une mesure plus correcte, finie.
Nous avons besoin de revenir sur la notion d'étalon en physique :
l'étalon de longueur est une règle de longueur fixe (dimension 1) ;
l'étalon de surface est un carreau (carré) de côté fixe (dimension 2) ;
l'étalon de volume est un pavé (cube) d'arrête fixe (dimension 3).
etc.
On ne peut évaluer la longueur que d'un objet de dimension 1 : même en prenant une règle minuscule, un point ne pourra jamais la contenir, et à l'inverse sur une surface, on peut mettre un nombre infini de règles (celles-ci ont une épaisseur nulle).
De même, on ne peut évaluer l'aire que d'un objet de dimension 2 : un point ou une courbe ne pourra jamais être pavé par des carreaux (même très petits), et dans un volume, on peut empiler un nombre infini de carreaux (ceux-ci ont une épaisseur nulle). On ne peut évaluer le volume que d'un objet à trois dimension , etc.
Ainsi, si l'on appelle do la dimension de l'objet et de celle de l'étalon, on a :
si de > do, la mesure donne 0 : on ne peut pas mettre un seul étalon dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une aire, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement inférieure à 2.
si de < do, la mesure donne ∞ : on peut mettre autant d'étalon qu'on veut dans l'objet ; c'est le cas pour la courbe de von Koch lorsqu'on utilise une mesure avec une longueur, ce qui indique donc que sa dimension fractale est strictement supérieure à 1.
si de = do, la mesure peut donner (si l'objet mesuré n'est pas infini) un nombre fini : le nombre d'étalon qu'il faut pour couvrir l'objet : notre problème est donc de trouver (si elle existe) la « bonne » dimension, celle qui nous donnera une mesure finie (si l'objet est fini, bien sur).
Pour faire cette mesure, la « taille » de l'étalon n'est pas sans effet. Si l'étalon est trop grand, il ne rentre pas dans l'objet (la mesure est nulle), mais en prenant des étalons de plus en plus petits, on obtient (d'habitude) des mesures qui se rapproche. Si, pour mesurer une ligne, on utilise une règle de longueur ℓ, plus ℓ est petit, plus on pourra mettre d'étalons dans l'objet à mesurer. La mesure est le produit du nombre d'étalons par la taille de l'étalon : Si l'on fait tenir Nℓ règles de longueur ℓ, la mesure sera
M(ℓ) = Nℓ×ℓ
Dans le cas d'une ligne habituelle, lorsqu'on utilise une règle de longueur ℓ divisée par deux (ou par trois, quatre, ... N), on peut mettre à peu près deux (respectivement trois, quatre, ... N) fois plus de fois l'étalon dans l'objet : la mesure ne change presque pas, et finalement, au fur et à mesure qu'on réduit la taille de l'étalon, on obtient une suite de mesures qui converge : la longueur exacte de la courbe est la limite de M(ℓ) lorsque ℓ tend vers 0, c'est un nombre réel.
Dans le cas de la courbe de von Koch, on voit bien que lorsqu'on divise l'étalon de longueur par 3, on peut mettre 4 fois plus d'étalon. Du coup, la suite de mesures de longueur ne converge pas.
M(ℓ/3) = 4Nℓ/3
Nous avons, tout « naturellement », fait varier de la dimension de 1 en 1 (point, ligne, surface, volume, ...). Mais il est possible d'imaginer une dimension fractionnaire, de faire varier de façon continue la « dimension ». Et de fait, pour la dimension
do = log 4/log 3 ≈ 1,261 9.
on peut faire converger la mesure pour la courbe de von Koch.
Ceci peut être représenté de manière plus rigoureuse par la dimension d'Hausdorff-Besicovitch."
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